Математические пределы

Пределы

По своей сути предел - это то, чему равна функция в тот момент, когда аргумент почти равен (но не равен) какому-то значению.


Рассмотрим следующий график. Перед Вами график функции y=1/x.

Мы видим, что в той точке, где x=0, функция не существует. Да и помним это, подставив в выражении x=0: y=1/0, а деление на 0 невозможно, что мы прекрасно помним со школы. Однако, чему будет равна функция, если на место х мы подставим не 0, а какое-либо число максимально близкое к 0? Подставим сначала значение x=0.1: y=1/0.1=10. Теперь возьмем x=0.001: y=1000. А что, если взять x=0.00000001? y снова увеличиться во столько же раз, во сколько уменьшился x. Следовательно, если мы примем, что x стремится к 0, то есть x максимально близок к нулю, y будет равен бесконечности (∞).

А что если х будет приближаться к 0 с другой стороны? То есть сначала возьмем значение не 0,1, а -0,1, затем -0,0001 и т.д. Как мы видим из графика, чем меньше отрицательное число, тем меньше значение аргумента. То есть, если х максимально близок к 0, но со стороны отрицательных чисел, y будет равен минус бесконечности (-∞).

Теперь рассмотрим следующий момент в этом же графике. Чем больше значение x, тем меньше значение y. Значит когда x стремится к бесконечности ∞, y стремится к 0.

То же самое мы видим по другую сторону графика, если х стремится к -∞, у также стремится к нулю.

---

Запись предела

Посмотрим на 2 следующие записи:

      

Первая из них звучит примерно так: "Предел функции 1/x, при х стремящемся к минус 0, равен минус бесконечности". И означает то же самое, что мы рассмотрели в параграфе 2.

Вторая запись звучит следующим образом: "Предел функции 1/х, при х стремящемся к 0, равен бесконечности". И означает то же самое, что мы рассмотрели в параграфе 1.

Как записывать предел:

1. В начале стоит слово lim, которое обозначает "предел" (от англ. limit).
2. Снизу подписывается к какому значению стремится переменная.
3. Затем пишится сама функция, которая содержит эту переменную.
4. После знака равно пишется значение предела, то есть пишется то, к чему стремится вся функция, если переменная стремится к какому-то значению.

Моменты, которые нужно запомнить:

• Под словом "стремится" подразумевается "почти равно".
• Само обозначение lim пишется каждый раз, до тех пор, пока в функции есть переменная, которая стремится к какому-либо значению.
• Если переменная стремится к какому-то значению с правой стороны графика (то есть немного больше, чем это значение), оно записывается с плюсом после числа.
• Если переменная стремится к какому-то значению с левой стороны графика (то есть немного меньше, чем это значение), оно записывается с минусом после числа.
• Если после значения, к которому стремится переменная не стоит ни +, ни -, значит либо это не имеет значения, либо подразумевается, что переменная немного больше данного значения.

---

Решение примеров с пределами

Алгоритм решения простейших пределов примерно такой:

1. Подставляем в функцию то значение переменной, к которому эта переменная стремится.
2. Решаем, как обычный пример, помня о следующих правилах:
   • Любое число (кроме 0 и ∞) делить на ноль = ∞
   • Любое число (кроме 0 и ∞) делить на ∞ = 0
   • ∞ плюс/умножить на ∞ = ∞
   • 0 плюс/минус/умножить на 0 = 0
   • И прочие случаи. Размышляйте логически. И посмотрите раздел "неопределенности пределов".

Попробуем разобрать следующие 5 примеров:

Пример 1:

     




Как это решалось? Арк-тангенс(arctg или tan^-1) - это ограниченная функция. То есть значения функции лежат в пределах от 0 до 2π. 3x при x, стремящемся к бесконечности, равно бесконечности, так как 3 умножить на бесконечность будет ни что иное, чем бесконечность. А ограниченная функция плюс бесконечность дают бесконечность.


Пример 2:

     

Как это решалось? Обе функции: корень из х и 6 в степени х при х, стремящемся к бесконечности, равны бесконечности. А ∞ умножить на ∞ равно ∞.


Пример 3:

     

Как это решалось? Обе функции: 2 в степени х и 9 в степени х при х, стремящемся к бесконечности, равны бесконечности. А ∞ + ∞ равно ∞.


Пример 4:

     

Как это решалось? cos(x) при x→0 равен 1. А x³ равен 0. Так как 0 в любой степени будет 0. А 0 разделить на 1 даст 0.


Пример 5:

     

Как это решалось? Подставив под x три, мы получаем в знаменателе ноль. А любое число, деленное на ноль, даст бесконечность.

---

Неопределенности пределов

Однако, не все пределы решаются так легко, просто подставив значение переменной в функцию. Иногда после подстановки переменной мы можем получить следующие выражения, которые заставляют нас немного помучиться.

Неопределенность	Способ решения	Пример
	Если после подстановки значения переменной мы получаем ∞/∞, то нужно найти в выражении переменную с наибольшей степенью и разделить числитель и знаменатель на эту переменную с наибольшей степенью. Либо же это решается с помощью правила Лопиталя.	Смотреть пример №1.1
	Если после подстановки значения переменной мы получаем 0/0, то нужно числитель и знаменатель разделить на множители (посмотрите "Пример 2.1"). Если же выражение иррациональное, то к иррациональному выражению надо примножить сопряженное выражение (с противоположным знаком) и поделить на него же (посмотрите "Пример 2.2"). Либо же это решается с помощью правила Лопиталя.	Смотреть пример №2.1 Смотреть пример №2.2
	Если функция представляет собой разность дробей, то их нужно привести к общему знаменателю (посмотрите "Пример 3.1"). Иногда от такой неопределенности можно избавиться, помножив и разделив выражение на сопряженное (посмотрите "Пример 3.2").	Смотреть пример №3.1 Смотреть пример №3.2
	В данном случаем необходимо перейти к неопределенности №1 или №2. Делается это следующим образом: предел представляет из себя перемножение двух функций (f(x) и g(x)), тогда производим следующую манипуляцию. f(x)*g(x)=f(x)/(1/g(x)). Получаем неопределенность №1 или №2 и решаем по их принципу (чаще всего через правило Лопиталя).	Смотреть пример №4.1
	Данный предел обычно будет выглядеть как lim f(x)g(x). Принимаем, что все это равно А. Теперь находим ln A = lim g(x)*ln f(x). Здесь получаем неопределенный предел №4 (0*∞) и решаем его по принципу, описанному выше. Но, получив ответ, помним, что мы искали логарифм от предела, а не сам предел. Потому ответ будет в форме eln A. То есть под ln A подставляем найденное решение (посмотрите "Пример 5.1"). Для случая 1∞ можно использовать следующие 2 свойства, которые необходимо запомнить: (посмотрите "Пример 5.2").	Смотреть пример №5.1 Смотреть пример №5.2

Пример 1.1:

Пример 2.1:

Пример 2.2:

Пример 3.1:

Пример 3.2:

Пример 4.1:

Пример 5.1:

Пример 5.2:

---

Эквивалентные преобразования

Эквивалентные преобразования могут значительно упростить нам жизнь, если их правильно использовать. Они позволяют нам заменить одно выражение на другое, более удобное, если x→0. Вот все эти случаи:

sin x ∼ x

cos x ∼ 1-x²/2

tg x ∼ x

arcsin x ∼ x

arctg x ∼ x

(1 + x)^a ∼ 1 + ax

ln(1+x) ∼ x

e^x ∼ 1 + x

sh x ∼ x

ch x ∼ 1 + x²/2

th x ∼ x

Рассмотрим всего один пример и сразу станет все понятно:

Пример:

---

Правило Лопиталя

При помощи формулы Лопиталя можно найти значение предела при неопределенности вида 0/0 или ∞/∞. Однако, для её использования, нужно уметь решать производные. Итак, правило Лопиталя:

Если после подстановки значения переменной в предел мы получаем неопределенность вида  0/0 или ∞/∞, то решить данный предел можно, найдя производные делителя и знаменателя:  .

Рассмотрим пример:

---

Автор статьи: Александр Картышев